( Учимся, отдыхая.
Для школьников и их родителей)
I
В государстве землемеров
Власть была у королевы
Благороднейшего вида –
Геометрии Евклида.
Ей служили правдой-верой
Аксиомы, теоремы.
В государственных структурах
Верховодили фигуры.
Вместе, так или иначе,
Все трудились над задачей.
Но однажды королева
На свой трон высокий села
И собрала в один миг
Верноподданных своих.
- Как идет у нас работа?
Я прошу, друзья, отчета.
Расскажите без стеснений,
Как проходят измеренья.
Поклонилась ей Прямая:
- Я – фигура основная.
И со мною, между прочим,
В основных фигурах – Точка.
Мне Отрезок – сын родной, -
Бесконечной часть прямой.
Его точки все подряд
Между двух концов лежат.
Луч или Полупрямая –
Так фигуру называем,
Если точки на прямой
В стороне лежат одной
От начальной его точки.
Все лучи – мои сыночки.
Два луча с вершиной общей:
Угол – говорим мы проще.
Инструмент есть, Карандаш –
Аргумент важнейший наш.
Геометрии магистр,
Карандаш – премьер-министр!
От лица всего народа
Он политику проводит.
Всех спасает от невроза,
Лечит нас от сколиоза
Медицины чародейка –
Двусторонняя Линейка.
Всем прямым углам полковник,
Брат линейки – сэр Угольник!
И углам всем командир –
Генерал наш - Транспортир!
II
Слухи как-то пронеслись:
В точках двух пересеклись
Две различные прямые!
Истину восстановили:
Постарались аксиомы,
Гордость и оплот короны:
- Точка может быть такой,
Что принадлежит прямой.
А другая, может быть,
Ей уж не принадлежит.
Провести прямую точно
Через две любые точки
Просто, как и «дважды два»,
Но прямая та – одна!
Слух, как видите беспочвен:
Нет таких двух разных точек!
Два отрезка дружно жили,
Их недавно отложили
От начала А луча,
Но теперь они кричат:
«Тесно на полупрямой!», -
Спор ведут между собой.
«Не хочу быть на конце!» -
Заявила точка "Це", -
«А хочу лежать внутри!»
А, В, С : всех точек – три.
- И должны быть всем знакомы
Остальные аксиомы.
Из трех точек на прямой
Разрешается одной
Ни сидеть и не стоять –
Между двух других лежать.
По-другому же сказать –
Две другие разделять.
Пусть отрезок взят любой,
Он определен длиной.
На отрезке точка взята,
Говорит, что виновата,
Что теперь отрезка - два:
Сумма длин – его длина.
Принимаем мы на веру,
Что имеет угол меру.
Угол пусть разбит лучом,
Проходящим меж сторон.
Сложим два угла теперь:
Его мера – сумма мер.
Так углы мы измеряем,
Градус – меру называем.
Как прямые ни старались,
Никак не пересекались.
И тогда им дали имя –
Параллельные прямые.
III
Через точку вне прямой
(Обе в плоскости одной)
Можно провести другую
Параллельную прямую.
Как прямые те не строй –
Их не более одной.
Ближе всех для Королевы
Аксиома параллельных.
Если смысл в ней изменить,
Тут же можно получить
Очень даже непростую
Геометрию другую.
Разобраться – съесть пуд соли,
Но ее не учат в школе.
Потому-то все мы верим
Аксиоме параллельных!
Аксиомам всем мы верим,
АКСИОС – здесь нет сомнений.
Теоремам тоже верим,
Но… сначала мы проверим
Или по другому скажем:
Теорему мы докажем.
Будем факты собирать
И учиться рассуждать.
И сказала Королева:
- Измерения – полдела.
Всех, всех надо обязать
Научиться рассуждать!
Чтоб теорему доказать,
Нам аксиомы надо знать.
И чтобы знали непременно
Доказанные теоремы!
Появился Транспортир,
Над углами командир.
- Стройся, - Транспортир изрек
И построил целый полк.
- Смирно, полк! Углы, рав-в-няйсь!
Измерять я буду вас.
Подошел он к одному
Неказистому углу:
- Ты в полку недавно, братец;
Сразу видно – новобранец.
Подтянуться нужно, брат,
Чересчур ты угловат.
Если хочешь быть стройнее –
На турник иди скорее.
Нужно, чтобы все могли
Делать «острые углы»!
Хоть математика –
Не акробатика,
Но все же названа она
Не зря гимнастикой ума!
Друг, запомни факт простой:
Транспортиром угол строй.
Угол, мерой в девяносто
Отличить от прочих просто.
Эти градусы построй,
И запомни – он прямой!
В зависимости от градусов
Углы бывают разные.
Острый угол есть, прямой,
Извините, и тупой.
Различить их просто:
Меньше девяноста – это угол острый,
Ну, а больше, чем прямой
Называется тупой!
Иногда случается,
Что пересекаются
Под прямым углом прямые,
Получая тут же имя –
С непривычки странное –
Перпендикулярные.
Отрезок такой пары
Зовем перпендикуляром.
- Я, - признался сэр Угольник, -
Формой тот же треугольник.
Два угла в нем острые,
Третий – девяносто,
Девяносто градусов. –
И добавил радостно:
- И сторон есть пара –
Два перпендикуляра!
IV
Пала в ноги Королеве,
Слезно плача, Теорема:
- Ваша светлость, помогите!
Самозванку устраните.
- Успокойтесь и не плачьте,
Расскажите о задаче.
- На прямой берем мы точку.
Через точку очень точно
Мы проводим к ней другую
Под прямым углом прямую.
И считали мы всегда,
Что прямая та – одна.
Но сегодня спозаранку
Объявилась самозванка –
Незнакомая прямая,
И нахально утверждает,
Что она пересекает
Ту прямую в точке той,
И, мол, угол тот прямой.
Получается тогда,
Что прямых две, господа!
Но вмешалась Аксиома:
- Ситуация знакома.
Кто такое утверждает,
Обо мне совсем не знает.
Только истина вся в том –
Аксиома всем закон!
Можно от полупрямой,
В полуплоскости одной
Угол отложить один
Заданной величины.
Применили средство сильное –
Доказательство от противного.
Противно – не в смысле не вкусно,
А логики искусство:
Наоборот предположить
И верный факт для всех открыть.
Карандаш острить любил,
И на этот раз сострил:
- Я сегодня острый очень,
В смысле – хорошо заточен.
Приведу я вам пример,
Ведь не даром я премьер!
Вот пример шутливого
Доказательства от противного.
Дан в условии квадрат.
«Черный» – сорок говорят;
Среди них – ученый
Подтверждает: «Черный!»
Но один субъект несмело
Говорит: «Квадрат тот – белый».
Доказать: бесспорно,
Что квадрат тот – черный.
В угоду субъекту строптивому
Допустим противное.
И рассужденье проведем –
Противоречие найдем.
Предположим, белый он;
Нарисуем мы на нем
Краской черной черный круг.
Что же скажут все вокруг?
Ведь на белом фоне
Круг, как на ладони.
Только слышим мы в ответ:
«Никакого круга нет!»
- Никакого круга нет! –
Соглашается субъект.
Но на белом цвете
Черные предметы
Очень хорошо видны.
Значит, заключаем мы,
Есть противоречие –
Наша цель конечная.
То есть, прав ученый,
И квадрат наш – черный!
Допущение неверно –
Доказана теорема!
На двоих у них одна
Общая есть сторона.
Две другие – на прямой,
В качестве полупрямой.
Скажем все-таки точней –
Дополнительных лучей.
И, к тому же, между прочим,
Их вершины в одной точке.
Друг без друга им не жить,
Им приходится дружить.
Отношенья – нежные,
Ведь углы те – смежные.
Ни демократия, ни диктатура
Не нарушат эту структуру.
От рождения дана
Общая им сторона.
Не бывает казусов:
Сто восемьдесят градусов
В сумме у углов всегда –
Факт запомним без труда!
Но поставлена задача –
Смежный угол горько плачет:
«Меньше брата я в два раза,
Назван «икс» я и знак «градус».
Старший брат сказал: «Не плач,
Значит, я «два икс» сейчас.
Сложим эти три «икса»,
Ну, а сумма, как всегда -
Так, что, брат мой, радуйся
Сто восемьдесят градусов!
«Икс» твой равен шестьдесят –
Числа правду говорят.
Ну а я, мой братец,
«Икс на два» - сто двадцать.
И, как видишь, ты и я
В сумме дружная семья!»
Меньший брат обрадовался:
«Сто восемьдесят градусов!»