Просты предельно аксиомы,
Но не всегда они верны.
Что очевидно и знакомо
Не подтверждается, увы…
Их применение условно
В границах, что определены.
Вне их они - “не аксиомны”
Иначе, просто не верны.
Так параллельные прямые,
(Что по Евклиду - пятый пункт), (1)
У Лобачевского другие,
И Риман тоже им не друг. (2)
Но есть другая аксиома
По Архимеду названа,
Хотя принадлежит Евдоксу (3),
Столетием раньше, вот дела.
К нам не дошли его работы,
О них мы знаем от других.
А жаль, история однобока,
И много было их таких.
Вернёмся к аксиоме этой -
Она проста, как муравей:
А много муравьёв приметой
Слона закроют с тушей всей. (4)
Проста и даже тривиальна
Та аксиома, но постой
Для чисел бесконечно малых
Она является пустой. (5)
Мораль - не всё, что очевидно,
Святая правда для всего.
Плюс мне за автора - обидно,
Хоть двадцать пять веков прошло...
1-16-2020
(1) Аксиомы, приведённые Евклидом в «Началах», таковы:
1. Через каждые две точки можно провести ровно одну прямую.
2. Вдоль любого отрезка можно провести прямую.
3. Имея отрезок, можно провести окружность так, что отрезок — радиус, а один из его концов — центр окружности.
4. Все прямые углы равны.
5. Аксиома параллельности Евклида: Через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а.
(2) Разные геометрии относятся к метрическим геометриям пространства постоянной кривизны. Нулевая кривизна соответствует евклидовой геометрии, положительная — совпадающим по локальным свойствам сферической или геометрии Римана, отрицательная — геометрии Лобачевского.
(3) Евдокс Книдский ок. 408 год до н. э. — ок. 355 год до н.э.)
— древнегреческий математик, механик и астроном. Занимался также врачеванием, философией и музыкой; был известен как оратор и законовед.
Неоднократно упоминается у античных авторов. Сочинения самого Евдокса до нас не дошли, но его математические открытия изложены в «Началах Евклида». Среди его учеников были Каллипп, Менехм и Динострат.
(4) Для отрезков аксиома Архимеда звучит так: если даны два отрезка, то, отложив достаточное количество раз меньший из них, можно покрыть больший.
(5) Утверждение аксиомы Архимеда кажется тривиальным, но её подлинный смысл заключается в отсутствии бесконечно малых и/или бесконечно больших величин.