Захарова О.А., Окасова Ж.
Павлодарский государственный университет, им С.Торайгырова, Казахстан
История вычисления числа ПИ
Древние математики, изучая отношения между геометрическими и числовыми величинами, столкнулись с иррациональными числами, Эти числа они назвали трансцендентными. К таким числам и относится число ПИ. В Древней Индии встречается значение ПИ равное 3,162 Китайский Астроном Ван Фань (229-267гг. н.э.) утверждал, что ПИ имеет значение 3,155…, а Цзу Чун-Джи (428-499гг.) говорил о «неточном» значении и о «точном» числа ПИ , показав, что число ПИ содержится между 3,1415926 и 3,1415927.В индийских сутрах (VII–Vвв. до н.э.) имеются правила, из которых вычислялось примерное значение числа ПИ. Арибхатта и Бхаскара брали значение ПИ равное 3,1416… .В своей книге «Об измерении окружности» (1424г.) аль-Каши нашел для ПИ значение, далеко превосходящее по точности все ранее известные. Рассмотрев вписанный и описанный многоугольники с 800 335 168 сторонами, он получает окончательный результат, выраженный в шестидесятиричных и в десятиричных дробях в виде 3,141592653597932 , т.е. – 15 верных знаков. [1]
Если обозначить радиус круга через R , то речь будет идти о построении круга, площадь которого равна ПИ R В КВАДРАТЕ, а сторона равна R КОРЕНЬ КВАДРАТНЫЙ ИЗ ПИ . Теперь известно, что число ПИ – отношение длины окружности к своему диаметру – число иррациональное, которое выражается бесконечной десятичной дробью 3,141592… Первое строгое доказательство иррациональности этого числа было дано на основе работы И.Г. Ламберта в 1766г. математиком А.М. Лежандром. Это доказательство, тем не менее, не исключает возможности квадратуры круга, так как известны иррациональные числа, которые могут быть построены с помощью циркуля и линейки . Затем немецкий математик Ф. Линдеман, опираясь на исследования Ш.Эрмита, в 1882г. нашел строгое доказательство того, что число ПИ не только иррационально, но не может быть корнем алгебраического уравнения Из этого следует, что с помощью только циркуля и линейки построить отрезок, равный длине окружности, невозможно.
Первым ввел обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом ПИ английский математик У.Джонсон в 1706г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова «периферия», что в переводе означает «окружность». Введенное обозначение стало общеупотребительным после опубликования работ Л.Эйлера в 1736г.
Число ПИ определяется и аналитически. В современной математике ПИ – не только отношение длины окружности к диаметру, но и элемент различных формул, в том числе формулы неевклидовой геометрии и знаменитой формулы Л.Эйлера. Последняя устанавливает связь числа ПИ и числа Е. Эта и другие взаимосвязи позволили математикам еще глубже выяснить природу числа ПИ. [2]
Голландский математик XVI века Лудольф ван Цейлен посвятил вычислению ПИ большую часть своей научной деятельности. К концу жизни он нашёл приближение с 32 десятичными знаками, вычислив периметры вписанного и описанного многоугольников с 262 сторонами. Полученное им значение ПИ, которое в некоторых европейских странах называют в его честь числом Лудольфа, высечено на его надгробном камне. Развитие анализа в основном трудами Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница позволило намного ускорить вычисление приближённых значений ПИ. [3]
Связь между тригонометрическими функциями и алгебраическими выражениями станет понятней, если рассмотреть окружность единичного радиуса с центром в начале координат на декартовой плоскости х-у. Уравнение этой окружности, имеет вид Х ВО 2 СТЕПЕНИ + У ВО 2 СТЕПЕНИ = 1. Синус и косинус угла между положительной полуосью х и радиусом, проведённым в любую точку окружности, равны соответственно координатам y и x этой точки, а его тангенс равен y/x. Однако для вычисления ПИ гораздо важнее тот факт, что обратную тригонометрическую функцию можно разложить в ряд, члены которого выражаются через её производные. И. Ньютон нашёл 15 знаков ПИ, суммируя несколько первых членов ряда для арксинуса. В 1674 г. Лейбниц вывел формулу 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + ... = ПИ/4 . Общий ряд для арктангенса был открыт в 1671 г. шотландским математиком Джеймсом Грегори. Погрешность этого приближения, определяемая как разность между суммой n членов ряда и точным значением ПИ/4, приблизительно равна (n+1)-му члену. Так как знаменатель каждого следующего слагаемого возрастает лишь на два, то, чтобы получить приближение с точностью до двух знаков, приходится суммировать около 50 членов, с точностью до трех знаков – около 500 и т. д. , но оказалось, что этот ряд практически непригоден для нахождения более чем нескольких первых знаков ;. Спасла положение формула Джона Мэчина: ПИ/4 = 4 arctg(1/5) – arctg(1/239). Поскольку ряд для арктангенса при заданном значении переменной сходится тем быстрее, чем меньше это значение, благодаря этой формуле вычисления сильно упростились. Пользуясь своей формулой и рядом для арктангенса, Мэчин в 1706 г. вычислил 100 знаков ПИ. Все известные вычисления ПИ с начала XVIII в. и до начала 70-х годов нашего века опирались на варианты формулы Мэчина. Из вычислений, проведённых в XIX в., два следует упомянуть особо. В 1844 г. Иоганн Дазе нашёл 205 знаков ПИ в течение нескольких месяцев, вычисляя значения трех арктангенсов и пользуясь формулой, аналогичной формуле Мэчина. В 1853 г. Уильям Шенкс обошел Дазе, опубликовав полученное им значение ПИ с 607 знаками, хотя начиная с 528-го все остальные оказались неверными, ошибка Шенкса была обнаружена только через 92 года при сравнении его значений с приближением ПИ до 530 знаков, вычисленным Д. Ф. Фергюсоном с помощью механического калькулятора. Созданные той же основе алгоритмы для компьютеров позволяют найти миллионы десятичных знаков числа ПИ. Число ПИ в 1987 г. было вычислено с беспрецедентной точностью: более ста миллионов десятичных знаков. Этот год ознаменовался также столетием со дня рождения Сринивасы Рамануджана – гениального индийского математика. Эти два события тесно связаны между собой, ибо самые недавние методы вычисления ; предвосхищены Рамануджаном. [4]
Как и многие другие выдающиеся математики, Рамануджан был увлечён силой этого числа. Построенные недавно алгоритмы для вычисления ПИ придали новый блеск математическим вычислениям этого учёного, извлечённым благодаря возрождению интереса к работам Рамануджана. Основные его работы содержатся в «Тетрадях», где он вёл личные записи, пользуясь собственной терминологией и обозначениями, в которых он не записывал доказательств своих теорем. Результаты Рамануджана, касающиеся числа ПИ, связаны большей частью с его исследованиями модулярных уравнений – темы, наиболее подробно раскрытой в «Тетрадях». Не всякая функция удовлетворяет какому-нибудь модулярному уравнению, но существует класс функций, обладающих этим свойством. Они называются модулярными функциями. Кроме того, модулярное уравнение выполняется только при определённых значениях x, а именно тех, которые являются «решениями» данного уравнения. Рамануджан не имел себе равных в умении находить решения модулярных уравнений, удовлетворяющие также некоторым другим условиям. Такие решения называются сингулярными. Поиски сингулярных решений в некоторых случаях приводят к числам, натуральные логарифмы которых совпадают с ПИ, умноженным на константу, в большом числе десятичных знаков. Пользуясь этим общим приемом, Рамануджан построил для приближения ; много рядов и одночленных формул. Некоторые из них приведены в его единственной формальной статье на эту тему «Модулярные уравнения и приближения к ;», опубликованной в 1914 г. [5]
С появлением цифровых вычислительных машин попытки найти ещё больше десятичных знаков ПИ возобновились. В июне 1949 г. Джон фон Нейман и его сотрудники применили один из первых цифровых компьютеров ENIAC. Машина выдала 2037 знаков за 70 часов. В 1957 г. Г. Э. Фелтон пытался вычислить 10 000 знаков ПИ, но из-за ошибки компьютера только первые 7480 знаков оказались правильными. Рубеж в 10 000 знаков был достигнут годом позже Ф. Женюи с помощью компьютера IBM 704. В 1961 г. Дэниел Шенкс и Джон У. Ренч-младший вычислили 100 000 знаков ПИ с помощью компьютера IBM 7090 менее чем за 9 часов. Отметка в миллион знаков была пройдена в 1973 г. Жаном Гийу и М. Буйе. Это заняло чуть меньше одного дня работы компьютера CDC 7600. Главная причина, по которой стало возможным всё более точное вычисление ПИ, состояла в увеличении быстродействия компьютеров. Однако вскоре выявились серьезные препятствия к дальнейшему росту точности. При традиционных способах выполнения на компьютере арифметических действий, если бы мы захотели удвоить число знаков, нам пришлось бы увеличить время вычисления по крайней мере вчетверо. Таким образом, даже при стократном увеличении быстродействия программе Гийу и Буйе для получения миллиардного знака ПИ понадобилось бы четверть века машинного времени. В 70-е годы казалось, что такое вычисление практически невыполнимо. Однако теперь эта задача осуществима, причём не только благодаря появлению «скоростных» компьютеров, но и благодаря применению новых методов умножения чисел. Решающим было и третье нововведение – итерационные алгоритмы, быстро сходящиеся к ПИ. Эти алгоритмы во многих отношениях предвосхищены Рамануджаном, хотя он и не знал ничего о программировании. Компьютеры не только позволили применить результаты Рамануджана, но и помогли разгадать их. В январе 1986 г. Дэвид X. Бейли из Исследовательского центра Национального управлении но аэронавтике и исследованию космического пространства, пользуясь одним из алгоритмов Рамануджана, после 12 итераций на суперкомпьютере Cray-2 получил 29 360 000 десятичных знаков ПИ. Основанный на модулярном уравнении 4-го порядка этот алгоритм более чем вчетверо увеличивает количество знаков после каждой итерации. Год спустя Я. Канада и его сотрудники выполнили ещё одну итерацию на суперкомпьютере NEC SX-2 и получили 134 217 000 знаков, проверив тем самым свой более ранний такой же результат, полученный с помощью алгоритма Гаусса–Брента–Саламина. Р. Уильям Госпер-младший из фирмы Symbolics, Inc., в 1985 г. решил провести испытание именно этого ряда Рамануджана на точность приближения к значению ПИ. Он довёл вычисления более чем до 17 млн. знаков. Можно показать, что алгоритмы рамануджановского типа очень близки к наилучшим возможным. [6]
Литература:
1. Рыбников К. А. История математики.
2. Юшкевич А. П. История математики.
3. S. Ramanujan. Modular equations and approximations to ;. In: The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 1914, v. 45, pp. 350–372.
4. E. Salamin. Computation of ; using arithmetic-geometric mean. In: Mathematics of Computation, 1976, v. 30, No. 135, pp. 565–570.
5. P. Beckmann. A history of ;. The Golem Press, 1977.
6. J. M. Borwein, P. B. Borwein. Pi and the AGM: A study in analytic number theory and computational complexity. John Wiley & Sons, Inc., 1986.