У любой домохозяйки может возникнуть вопрос - почему при умножении чего-то на ноль получается ничего? Где логика?
А логики здесь действительно нет, но есть логическая ошибка.
На столе было 5 яблок. Мы их увеличили в 0 раз, и яблоки исчезли.
А как же закон сохранения энергии? Здесь и физики могут возмутиться.
Но математик лишь посмеивается над неофитами.
1. "Умножение любого числа на ноль даёт ноль!"
Что, правда?!
Давайте представим, что математик все свои сбережения держит в банке.
Звонок из банка! Математику сообщают, что его сбережения удалось увеличить в 0 раз, поэтому денег больше нет. Какой будет реакция у математика? Вот именно.
Что же нам предъявляют, как доказательство абсурдного утверждения, и где закралась ошибка?
Представим, что у нас на столе лежат 3 монеты.
Математик будет брать по одной монет и держать их в руке.
В такой незамысловатой задачке сразу оговаривается то, что мы считаем.
Считаем мы монеты, т.е. единицей измерения при счёте является одна монета. Реальная, осязаемая монета, для обозначения которой мы используем единицы.
1 - это одна реальная монета в рамках задачи.
0 - это отсутствие монеты в нашей задаче или воображаемая монета.
Также оговаривается исследуемое поле.
Если речь идёт о столе, то вопрос будет звучать так - сколько монет осталось(стало) на столе?
Если исследуемое поле - рука, то и вопрос будет - сколько монет стало(осталось) в руке?
Вот математик берёт одну монету один раз. Запишем это в числах.
1 монета со стола * 1 действие = 1 монета в руке.
Стираем слова.
1*1=1
Как мы видим, при стирании слов, когда остаются одни голые числа, уже не понятно, что там на что умножается. Главное количественный результат.
Это у математиков называется - абстрагироваться.
Математик снова берёт одну монету со стола. Получается уже 2 совершённых действия.
1 монета со стола * 2 действия = 2 монеты в руке.
1*2=2
Берёт последнюю монету. Совершено 3 действия.
1 монета со стола * 3 действия = 3 монеты в руке.
1*3=3
А теперь вернём монеты на место и начнём всё сначала, только на этот раз математик будет брать монету со стола, имитируя действия (как будто берёт или "берёт ноль раз").
Принципиальный вопрос - в том, что он берёт, и как это отображается математически.
Нам опишут эту ситуацию так:
1 монета * 0 действий = 0 монет в руке.
1*0=0
Верно? Нет, неверно.
Во-первых, имитируя действие математик совершает движения. 0 действий - это, когда математик остаётся неподвижен.
Во-вторых, он берёт воображаемую монету, а не реальную, т.е. он берёт 0 монет со стола, а не 1 монету. Давайте это запишем.
0 монет со стола * 1 действие-имитация = 0 монет в руке.
0*1=0
Вот что происходит на самом деле, в реальности.
Отождествлять же реальные монеты (единицы) с воображаемыми(нулями) есть ничто иное, как нарушение тождества в логике.
А что же может означать 1*0, и чему будет равняться?
1 монета в руке * 0 действий = 1 монета в руке.
1*0=1
Исходное число 1 не изменилось.
Может мы передумали увеличивать исходное число, а может нам просто не известно, во сколько раз надо увеличить исходное число. Данная запись указывает лишь на намерение увеличить, и только.
Здесь 0 - это отсутствие данных.
2. "Делить на ноль нельзя. Категорически!"
Странно. Умножать можно, а делить нельзя.
А с единицей можно и то и другое...
А может к нулю не всегда подходят те же правила, что и для единицы, раз они такие разные?
Ну, да ладно, давайте представим другую ситуацию.
Сегодня у математика именины! Придут гости. Надо разделить торт на равные части, чтобы никого не обидеть. Одна проблема - сколько будет гостей неизвестно.
Сможет ли математик точно разделить торт на количество гостей?
Нет, торт он оставит не разрезанным, дождётся гостей.
1 торт : 0 данных о кол-ве гостей = 1 торт
1:0=1
Тогда получается, что
1*0=1*1
1:0=1:1
Так и есть, с одной существенной оговоркой в отношение нуля...
5*1=5
Здесь исходное число 5 не увеличилось.
Если у нас в задачке оговорено, что, например, есть корзины с яблоками, и в каждой из них было по 5 яблок, данная запись подходит для описания условий.
1*5= 1+1+1+1+1=5
Здесь исходное число 1 увеличилось аж в 5 раз.
Качественно в двух этих случаях описан разный процесс, но количественно результат тот же. Поэтому 1 и 5 при умножении можно менять местами.
5*1=1*5
С нулями ситуация иная.
Положение ноля в записи, как при умножении, так и при делении, имеет принципиальное значение.
5*0=5 (действие умножения не выполнено: нет данных)
0*5=0+0+0+0+0=0 (ноль не умножается и не делиться)
Ладно, это понятно, но непонятно почему на ноль делить нельзя.
Данный математический догмат, иначе не скажешь, появился как следствие ошибочного утверждения того, что при умножении любого числа на ноль число испаряется.
Допустим 5*0=0. Продолжим.
5*0=0
5=0:0(ноль не делится)
5=0 (??????)
Конечно такого равенства быть не может, поэтому математики и запрещают всем делить на ноль.
5*0=5 (это в реальности)
5=5:0
5=5
Ещё раз о положении нуля в записи.
В отношение единиц можно встретить такие уравнения.
5*(2-1)=5*2-5*1
5*1=10-5
5=5
Всё так, но пока дело не доходит до нуля.
Ведь ноль можно отобразить как 1-1.
Что тогда получится?
5*(1-1)=5*1-5*1
5*0=5-5
5*0=0
Так может быть всё правильно: умножая на ноль получаем ноль?
Для нуля важно его положение в записи, т.е.: 5*(1-1) не равно (1-1)*5.
Поменяем первое на второе, и всё становится на свои места, и даже не возникает догмата о делении на ноль.
(1-1)*5=5*1-5*1
0*5=5-5
0=(5-5):5
0=0:5
0=0
А теперь вернёмся к общепринятому уравнению.
5*(1-1)=5*1-5*1
5*0=5-5
5=(5-5):0
5=0:0
5=0
Чтобы однажды не прийти к такому "равенству", всем запрещено делить на ноль.
Категорически!
Следовательно, данное уравнение составлено неверно, т.е.
5*(1-1) не равно 5*1-5*1,
в то время как уравнение (1-1)*5=5*1-5*1 верно.
Вот так.
Есть и другие вопросы в математике связанные с нулём.
Является ли 0 чётным числом.
Почему любое число в нулевой степени равно единице, а точнее - почему этот вопрос так часто возникает у учеников. Там тоже есть накладки.
Но не хочу утомлять читателя нулевой темой.
Об этом - как-нибудь в другой раз.