ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Природа ничего не делает напрасно и во всех своих проявлениях избирает кратчайший или легчайший путь.
- Аристотель
Природа всегда действует наиболее короткими путями.
- Пьер Ферма
Столько лени накопилось хоть с дивана не вставай,
- В. Поляков
Кратчайший путь берёт луч света
От точи А до точки Б.
Как узнаёт его? Об этом
Мы поведём рассказ в стихе.
Природа следует законам,
Что эффективны и просты -
Кратчайший путь, ведущий к дому,
Примером этой красоты.
Другим примером - энтропия,
Чтоб максимальная была.
Энергии минимум стихия
Чтобы система отдала.
Когда вам очень интересно
Найти какой-нибудь экстрим
Где максимум чего-то местный
Иль минимум найти хотим.
Вот эта область и зовётся
Как “вариации задач”.
Её не учит кто придётся,
У многих вызывала плач.
Природа этот принцип знает
И следует ему во всём -
Усилия меньше применяет -
Мы путь короче не найдём.
Так все законы сохранения
И преломления луча
Без вариаций вычисления
Нам не найти, попытки - зря.
Заметил Аристотель это,
Ферма научно подтвердил,
Дал метод Эйлер одним летом,
Лагранж формально утвердил.
Теперь механика движения
И свойства квантовых полей
Используют эти уравнения!
Природе и без них видней.
Иллюстрация:
Принцип Ферма (принцип наименьшего времени Ферма - 1662 г.) — постулат в геометрической оптике, согласно которому свет выбирает из множества путей между двумя точками тот путь, который потребует наименьшего времени.
Принцип наименьшего действия (ПНД) утверждает:
система ведёт себя таким образом, чтобы ее «действие» было минимальным (или максимальным) из всех возможных при данных условиях.
"Многие законы механики и физики сводятся к утверждению, что некоторый функционал в рассматриваемом процессе должен достигать минимума или максимума. В такой формулировке эти законы носят название вариационных принципов механики или физики.
К числу таких вариационных принципов или простейших следствий из них принадлежат: принцип наименьшего действия, закон сохранения энергии, закон сохранения импульса, закон сохранения количества движения, закон сохранения момента количества движения, различные вариационные принципы классической и релятивистской теории поля, принцип Ферма в оптике, т.д."
- Эльсгольц Л.Э
8-9-21
БРАХИСТОХРОНА ИЛИ ЛЬВА УЗНАЮТ ПО КОГТЯМ
Брахистохро;на (от греч. «кратчайший» + «время») — кривая скорейшего спуска.
«По когтям узнают льва».
- И. Бернулли
Всегда в науке было модно
Загнать товарищей тупик
Задачей иль идеей сложной,
С вопросом новым, что возник.
Брахисто-хрона, - не годится
Для рифмы греческой в звено:
“Как шарику с вершин скатиться,
Чтоб время - минимум его”.
Условие просто , ну, как репа,
Задал Бернулли, сам саван.
Четыре получил ответа,
Один без подписи был дан.
По элегантности решения,
Его особой глубине,
Был узнан автор вне сомнения,
Бернулли там сказал о льве
В 1696 году двадцатидевятилетний Иоганн Бернулли выдвинул задачу, которой было суждено сыграть выдающуюся роль в развитии одной из важнейших ветвей математического анализа.
Она была удивительно проста на первый взгляд, эта задача.
ВОПРОС:
Требовалось найти кривую, при движении по которой под действием силы тяжести, шарик пройдет путь из точки A в точку B за наименьшее время.
Было получено четыре решения (Лейбниц, Я. Бернулли, автор задачи, И Бернулли) и было прислано решение анонимного автора. Увидев решение этой задачи, содержавшее всего 77 слов, И. Бернулли угадал автора И. Ньютона — «По когтям узнают льва».
ОТВЕТ:
Быстрее всего шарик скатится по линии «кратчайшего времени» — брахистохроне.
В данном случае ею служит циклоида с горизонтальным основанием и точкой возврата в начальную точку А.
Задача о брахистохроне, послужила толчком для развития вариационного исчисления — одного из самых могущественных инструментов в руках современных физиков и механиков.
4-10-23