Эпиграф по случаю 2-ой части Малой Поэмы (о Теореме Ферма/Эйлера)
В науке, где товарищ Простов,
Россия станет выше ростом! -
И грянет праздничный момент,
Когда обЪявит Президент...
Хоть старой партии, хоть новой:
"Великий Год!... Числа Простого!"
____________________________ Поэт Вовик, 2008г. (нашей эры)
Итак, мой друг, я надеюсь, ты понял, в чём состоит последнее противоречие при доказательстве Леммы 1 для натyрального простого числа p=4n+1, из которого лишь один выход, а точнее, вывод: имеет место (точная!) делимость p\(xx+1) при некотором x < p-1 (и даже при таком: x < (p+1)/2 < p-1). (И надеюсь на то, что ты глубоко вник в суть дела и самостоятельно способен доказать эту Лемму.)
Учитывая Лемму 1, я могу утверждать: существуют как минимум два моих простейших(!) метода на основе так называемого "спуска", позволяющих доказать теорему Ферма/Эйлера. Здесь я вкратце предложу тебе, мой друг, один из них (с "бесконечным спуском"), который более прост, однако МЕНЕЕ перспективен к применению для решения других (не только старых, но и новых) задач.
Лемма 2. Пусть p\(aa+bb), где a,b - некоторые целые числа, и пусть при этом имеем: p < aa+bb < pp. Тогда найдутся такие целые c,d, что p\(cc+dd), и при этом: 0 < cc+dd < aa+bb.
Схема доказательства (как подсказка):
В силу определения точной делимости, имеем mp = aa+bb, где m - некоторое целое число; p > m > 1. Отметим: p[\]a и (как следствие) p[\]b (т.е. p[\]ab); иначе имели бы aa+bb > pp, что противоречит условию Леммы 2.
Ясно, что кроме p есть простое число q < p с той же делимостью: q\(aa+bb). Если бы имелась делимость: q\a (а также: q\b), то целые числа c = a/q, d = b/q были бы искомыми.
Остаётся рассмотреть случай: q[\]a и (как следствие) q[\]b. В таком случае, воспользуемся тождестом:
(ax+b)(ax+b)+ (a-bx)(a-bx) = (xx+1)(aa+bb)
и тем, что среди чисел: b, a+b, 2a+b, ... , (q-1)a+b, найдётся такое ax+b, которое делится на q; (ax+b)//q.
В итоге, вновь обнаруживаем искомые числа c = (ax+b)/q и d = (a-bx)/q, так как в силу тождества с учётом неравенства xx+1 < qq получим следующее:
cc+dd = (xx+1)(aa+bb)/qq < aa+bb < pp. При этом, очевидно, имеем: p\(cc+dd).
Чтобы ничто не смущало, в заключение, отметим, что можно было бы иметь дело лишь с натуральными числами - тогда, в частности, стало бы очевидным то, что числа c,d как натуральные не могут оказаться нулями. Однако в любом случае с помощью тождества можно увидеть: равенство cc+dd = 0 невозможно, поскольку нам дано aa+bb > p > 0 (невозможно и такое: cd=0 (!) поскольку имеем p[\]cd).
Таким образом, не сомневаясь в неравенстве 0 < cc+dd, наконец-то, убеждаемся в том, что...
Лемма 2 (схематично!) доказана.
Итак, будем надеяться на то, что тебя, мой друг, и любого другого читателя схема доказательства будет побуждать к сочинению какого-нибудь очередного стишка! позволяя тебе и читателю, при этом, ЛЕГКО и ПОЛНОСТЬЮ убеждаться в справедливости Леммы 2!
Тебя посетила Муза?... Ведь по существу-то теорема Ферма/Эйлера уже доказана! Не правда ли?...
PS: Хотелось бы ещё отметить: во времена Пьера Ферма не было понятия "нулевого числа", хотя и было понятие "отрицательного" как некоего сугубо вспомогательного средства для поиска соответствующих натуральных чисел; без него трудно было бы "раскрывать скобки:" (a-bx)(a-bx) = aa-2abx+bbxx. Однако до сих пор не раскрыта тайна: пользовался ли П.Ферма отрицательными числами в своих рассуждениях, в которых он настолько не сомневался, что не оставил (видимо, для него это было совершенно очевидным!) никаких конкретных арифметических записей (формулировок) для подтверждения многих своих утверждений (что, само по себе, вызывает удивление!).
_________________
другие (простые-простые!) варианты доказательства будут опубликованы после очередного посещения Музой Поэта Вовика... под влиянием Изящной Арифметики!