Суть первой теоремы Гёделя (1931) проста, а доказательство теоремы сложно.
Суть заключается в следующем: для любой (достаточно мощной) непротиворечивой аксиоматизированной теории можно построить утверждение, независимое от аксиом этой теории, – другими словами, утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
Эта одна сторона дела. А другая заключается в том, что, согласно классической концепции истины, всякое осмысленное утверждение либо истинно, либо ложно.
Получается, что в любой непротиворечивой теории истинных/ложных утверждений больше, чем доказуемых/опровергаемых: не все истинное доказуемо, и не все ложное опровергаемо.
Но это соотношение основывается на классической двузначной концепции истины.
Можно ввести третье значение («неопределенно»). Или отождествить истинность с доказуемостью (что приведет к любопытным последствиям).
Если бы в математике я был так же талантлив, как в поэзии, я бы до конца дней занимался математической логикой. И поставил бы в своем кабинете бюст Курта Гёделя (1906 – 1978). И раз в неделю выпивал бокал «хеннесси» или «курвуазье» за помин его ума.
P.S. Для философских и других гуманитарных теорий эта теорема не имеет никакого смысла, потому что эти теории не формализуемы и не аксиоматизируемы.