Родился в небогатой дворянской семье, где помимо него потом росли ещё трое сыновей Николай (1842—1878), Афиноген (1849—1908) и Владимир (1851—1927). Детство прошло в родовом имении отца (Николая Фёдоровича) — деревне Павлодар. По мироощущению близок М. Ю. Лермонтову. Был весьма мнителен, легко раним, «поэт милостью Божией», вместе с тем имел репутацию шутника, остроумного и блестящего импровизатора. Его монологи в стихах, романсы, альбомные посвящения, пародии, эпиграммы и экспромты входили в репертуар модных чтецов-декламаторов. Некоторые произведения Алексея Николаевича положены на музыку П. И. Чайковским «Ночи безумные», «День ли царит» , А. С. Аренским («Разбитая ваза»).
В 1859 году окончил Императорское училище правоведения, где подружился с П. И. Чайковским. В этом престижном заведении Апухтин был самым блестящим учеником в классе и имел только отличные оценки по всем предметам, так же был одним из редакторов журнала «Училищный вестник». В том же году, 23 апреля, умерла его мать, Мария Андреевна (1821—1859), смерть которой стала для Апухтина настоящим ударом. Её памяти поэт посвятил несколько стихотворений («Какое горе ждёт меня?», «Ни веселья, ни сладких мечтаний», «Ещё свежа твоя могила»).