Прося учтиво гостя своего,
чтоб повод к посещенью был подсказан,
спросить хозяин должен у него
не «Чем обязан?», а «Чему обязан?».
Здесь куртуазный оборот таится –
«Что привело вас к дому моему?» –
то есть, не «Чем я должен расплатиться?»,
а «Благодарен должен быть ЧЕМУ?»!
При этом я добавлю замечание:
У «Чем обязан?..» нету окончания,
а вот с «Чему обязан?..» выражением
проблем не будет – «…вашим посещением».
Оно при деликатности полезно –
звучит и утончённо, и любезно.
Но если вы заявите открыто:
«Чем я обязан вашему визиту?»
(Чем мне платить за этот ваш визит?!)
и глупость тут и грубость прозвучит.