"Я стал настолько философом, что презираю большинство тех вещей, которые обычно почитаются, и почитаю другие, которым многие приучены не придавать совершенно никакого значения".
Рене Декарт.
Чикада. Как славно, что мы сегодня снова встретились с вами и можем дальше продолжать наш разговор!
Тансилло. Нет ничего славней, ведь и древние греки только тем и превосходили нас, и превосходят до сих пор, что умели не только приятно, но и мудро поддерживать беседу, и наслаждаться ею, как наслаждаются жизнью, в полной мере и с великим достоинством.
Чикада. Они прогуливались и беседовали, лежали в тени деревьев и беседовали, и даже на пиру они собирались, чтобы побеседовать и о каких вещах!
Тансилло. Постараемся же и мы быть собеседниками не пустыми и не вздорными...
Чикада. Хорошо... Вчера, мы рассматривали "точку" как принцип, и знаете ли, мне это как-то понравилось. Но поясните ещё, насколько это возможно, преимущество "точки" как принципа.
Тансилло. Представьте себе бесконечный ряд чисел, их считают и считают, их можно считать без конца, математики сходят от этого с ума. Они создают "гуголы", "плексы" - числа, которые выходят за пределы всех возможных атомов во Вселенной, и говорят себе - это ещё не конец, можно и больше! Давайте больше! И они напрягаются, чтобы было больше! Они также объясняют нам, что для такой бесконечности совершенно всё равно - возьмём ли мы ряд обыкновенных натуральных чисел или же возьмём только чётные из них, оказывается и все чётные - не меньшая бесконечность, хотя их ровно половина, но ведь и их невозможно сосчитать. И так выходит у них, что к бесконечности этой сколько не прибавляй и сколько не убавляй, а она остаётся всё той же самой бесконечностью!
Чикада. Разве тут что-то не так и они не правы?
Тансилло. Но друг мой, разве вы не замечали, что дети как только научатся считать, болеют всё той же самой болезнью - не хотят складывать, не хотят умножать, а хотят узнать какое число самое-самое большое, а когда дашь им какое-нибудь большое число, они тут же интересуются - не существует ли ещё большего?
Чикада. Я мало знаком с детьми.
Тансилло. Ну так я вам порасскажу кое-что о них, я знаю этот "предмет" досконально и не понаслышке.
Чикада. Но зачем? Ведь мы так уйдём в сторону, а перед нами стоит такой сложный вопрос как бесконечность, и мне, честно говоря, хотелось бы хотя бы минимально его понять. Эта бесконечность так головокружительна! Я проваливаюсь с ней словно под корку всех определённых вещей и обнаруживаю себя, висящим над бездной. Я чувствую необычное парение. Та ли это "безосновность", что упоминали философы разных времён и народов или не та - мне не известно, но я всё настойчивей сталкиваюсь с ней, и мне кажется, что вот-вот, и она откроет мне свои тайны.
Тансилло. Не всегда самые прямые пути - самые близкие.
Не обольщайтесь насчёт умопомрачительного современного бума бесконечности, который всей силой своих технических и красочных средств, вскружил вам голову.
Об этой бесконечности, мы вынуждены сказать следующее - она начинается с чётко фиксированного числа - 1. Или с чётко фиксированного числа - 2, если вы сдвинули свою бесконечность в её "бесконечное". Или с чётко фиксированного числа - 3, ну и т.д. Проще говоря, она с чего-то начинается.
Чикада. И что же с того? Мы можем оставить в покое числовой ряд и взять бесконечную прямую линию, не имеющую ни начала, ни конца и тогда мы получим образ того, что не только "никогда не кончается", но и "ни с чего не начинается".
Тансилло. То-то и оно... Как раз к этому я и хочу вас подвести. Мы берём бесконечность числового ряда и получаем бесконечность, потом мы берём ряд исключительно чётных чисел и тоже получаем бесконечность, потом мы берём прямую (это уже от нуля и отрицательные и положительные числа в разные стороны) и тоже получаем бесконечность. Но ведь и Зенон в таком смысле прав - можно взять отрезок и получить бесконечность, даже от 1 к 2 - она у меня появится - мне достаточно лишь бесконечно дробить мои числа и не обязательно наполовину, можно и по какой-нибудь иной зависимости - 1,2, потом 1, 21, потом 1, 215, потом 1, 2153, и вот я уже получаю бесконечный ряд какой-то ещё одной бесконечности, что ничуть не хуже других. Но даже более того - если я возьму и просто одно число, скажем ту же 1, то я могу и её превратить в бесконечность, ведь число 1 совершенно легко может предстать как предел бесконечно малых неисчисляемых чисел, и таким образом воочию явить нам всю ту же самую бесконечность.
Чикада. Но разве мы допустили логическую ошибку?
Тансилло. Но друг мой, не напоминают ли вам, все такие рассуждения о бесконечности, как раз Зеноновский "Стадион" - где половина равна целому? А у нас так ещё хлеще - не только половина равна целому, но и равна единице вообще.
Чикада. Вот горе, так горе... Всё было так многообещающе, а теперь мы опять в тисках Зенона. Может быть, он был прав и нам никогда не выбраться из нашего вечного кружения, и не познать бесконечности, и бесконечность нашему разуму недоступна?
Тансилло. Не горюйте раньше времени... Давайте я вам расскажу как выражал эту проблему Декарт в письмах к Мерсенну.
Чикада. Ну что же, я охотно послушаю, всё равно, как видимо, больше нам ничего не остаётся.
Тансилло. Вы не пожалеете, это прелюбопытный диалог.
Чикада. Охотно верю, только почему же, если он в состоянии помочь нам, он не в состоянии был помочь нашей математике? Или наши математики не в курсе декартовских озарений?
Тансилло. Вот простак, так простак... Ваша наивная душа, мой любезный Чикада, иногда заставляет меня почти умильно прослезиться. У нас есть тысячи находок древнейших табличек, исписанных древнейшими языками, но многие из них мы не в состоянии прочитать и до сих.
Чикада. Так не тяните же, милый Тансилло, скорей поведайте нам о том, что вы уже сумели прочитать.
Тансилло. Вы сейчас увидите точь-в-точь, один к одному, всю нашу ситуацию.
Декарт пишет в своём письме: вы предложили мне осмыслить следующее - что если бы имелась бесконечная линия, то она содержала бы бесконечное число и футов, и туазов ( фут и туаз - старинные меры длины, один туаз содержит 6 футов или 1, 999 метра), и, следовательно, бесконечное число футов будет в 6 раз больше числа туазов.
И вот на такое противоречие бесконечности Декарт и должен был дать ответ.
Но разве это как раз не наша ситуация, где большее в 6 раз должно быть равно меньшему?
Или если перевести на язык более доступный нашим читателям и слушателям - если существует бесконечная линия, то в ней существует бесконечное число метров и сантиметров, но тогда выходит, что бесконечное число метров в 100 раз меньше бесконечного числа сантиметров.
Чикада. А я то думал, что современные математические фокусы и парадоксы вполне современны. А теперь, как я погляжу, и Зенон, и Мерсенн, и наши математики говорят в сущности одно и тоже. Знали бы они о Мерсенне - вскричали бы и о Мерсенне.
Тансилло. Но не Декарт...
Чикада. А что же Декарт?
Тансилло. Перед Декартом лежит заявление Мерсенна, что одна бесконечность больше другой и мы, таким образом, приходим к противоречию, потому что одна бесконечность не может быть больше другой.
Чикада. И?... Ну же... Не тяните... Что же говорит Декарт?
Тансилло. Для начала Декарт приподнимает бровь и говорит - а почему бы и нет?
Почему бы одной бесконечности не быть больше другой в КОНЕЧНОМ ОТНОШЕНИИ?
Декарт обращает внимание Мерсенна на то, что отношения между футами и туазами (в нашем случае между метрами и сантиметрами) нисколько не поменялись на фоне их бесконечности, откуда Декарт делает вывод, что к бесконечности эти отношения никакого ОТНОШЕНИЯ не имеют, они - оконечены, конечны.
Чикада. Уф... Мы же это, вроде итак знали...
Тансилло. А затем прибавляет самое главное. Он спрашивает в свою очередь Мерсенна - что же позволяет нам вообще сравнивать одну бесконечность с другой? Ведь мы ни ту, ни другую не знаем? И отвечает: наше воззрение, в соответствии с которым, познанная нами бесконечность, перестаёт быть бесконечностью.
Чикада. О, тысяча чертей!!! Как странен ход и выпад!!! Я ничего не понял!!! Быть может вам таблички древних по плечу, а мне так - сумрак тёмный. Я ничего не понял, говорю. И с толку сбит, и даже больше, чем в начале, я безоружен и разоружён. И, кажется стихом заговорил...
Тансилло. Да что ж тут понимать, мой друг Чикада, я вам стихами отвечаю тоже, мы бесконечное - непознанным зовём!!! А что познали - то не бесконечно...
Суммируются числа без конца, но потому лишь, что неизвестен нам простой закон простейшей суммы - из одного как к двум с тобой придём. А большего не надо, всё большее - лишь только дубликат, повтор и повторение без меры, затем, что меры нет в самом числе. И неизвестно ЧТО - "число" есть, "сумма"?
Древнейший и славнейший Пифагор над этим мыслил, а потом - безмыслье. И нет у нас понятия "числа".
И что такое "линия" не знаем. Из "точек" мы хотим её собрать, но собранная впопыхах, она являет, и тотчас, тут же, - "дурную бесконечность" нам под стать.
Как говорил один прекрасный муж - в существовании одной из бесконечностей, я полностью уверен, то бесконечность глупости людской.
Не путаник Декарт тут, ясновидец...
Когда животное считать уже умеет - то КАК оно считает? Где чудо есть - познание молчит.
Не сумма "одного" и снова одного, и снова, а напряжение - "один и много" - философа как умника томит, а математик, БЕССЧЁТНО всё складирует нули. Но нет нулей, "один и два" - это "один и много", и ничего вне тех пределов не лежит...