Очевидно, что глагол "надоедать" имеет отношение к корню "ести" (итератив – "едати"), но каково это отношение, на мой взгляд, совсем неочевидно. Впрочем, большинство этимологов не видят здесь проблемы: якобы первоначальное значение то же, что и в однокоренном "приелось". Надоеда;ть. Образовано приставочным способом от доедать, (едать, есть). Буквально – «переесть». Так об этом сказано в словаре Г.А. Крылова.
Позвольте высказать несколько сомнений в таком незамысловатом толковании. Во-первых, обращает на себя внимание наличие возвратной частицы –сь в глаголе "приелось" и ее отсутствие в глаголе "надоело". Это значит, что их смыслы хотя и близки, но не тождественны, поскольку имеют ввиду разную направленность действия. Во-вторых, как понимать наличие двух приставок? Что значило, слово "доело" без второго префикса? Кто что (кого) доел? По-моему, эти вопросы не являются досужими.
Начнем со второго. Сочетание двух приставок: на- и до- в глаголе "надоесть" не уникально и представляет собой вышедшую из употребления словообразовательную модель. В словаре древнерусского языка находим: "надоволиться" – «получить удовлетворение», "надокучити" – «надоесть, наскучить», "надосадити" – «сильно досадить кому-либо». Сюда же можно отнести "надорвать" и "надорваться".
Если бы была возвратная частица и глагол имел форму "надоелось", то смысл просматривался бы отчетливо: кто-то чем-то объелся так, что больше не лезет*. Но… Здесь как будто едят самого человека. И эта мысль находит подтверждение в других фактах языка. Дело в том, что глагол "есть" имел не только прямое значение «потреблять в пищу», но также и иносказание – «ссориться, ругаться, бранить» (ср. грызться), а еще – «мучить, утомлять, изнурять». Именно это значение, на мой взгляд, и стало основой для появления глагола "надоесть". Сравним такие примеры: Мать ест меня поедом; начальник меня совсем заел; быт заел, и пр. Вообще был в русской речи глагол "заесть", который так же употреблялся в разных ситуациях: тоска заела (измучила, истерзала), заел мои денежки (присвоил). Таким образом, "надоесть" – «сильно доесть кого-либо; допечь; достать; доконать». В письменных источниках глагол "надоело" встречается с XVII века.
В литературе находим такие примеры:
Особенно доел их лед, который постоянно приходится оттаивать… Д.И. Менделеев. Дневник (1861). Очевидно, что доел здесь выражает значение «измучил, вымотал, истерзал».
Добавим, что глагол "есть" породил и другие иносказания. Например, "ржавчина есть железо", "дым ест глаза"; "кожа, изъеденная оспой" и пр. Можно поедать кого-то глазами (жадно смотреть). Таким образом, поедать кого-то или что-то, не употребляя в пищу, не представляется для русского языка чем-то из ряда вон выходящим. И глагол "надоесть" происходит как раз из таких контекстов, а вовсе не из того, что кто-то чего-то переел.
*Михаил Задорнов вполне мог бы предложить такую этимологию: недоесть – надо есть (есть надо, а уже не лезет).